Совсем другие проблемы возникли у звезды во время съемок сериала «Место встречи изменить нельзя». Герои Владимира Высоцкого и Конкина были лучшими друзьями только на экране, а за кадром легендарный бард страдал перепадами настроения, набрасывался на коллегу и грубил ему. Владимир Алексеевич несколько раз пытался покинуть проект, особенно после конфликта, когда Высоцкий выкрикивал в его адрес нецензурную брань. В итоге поэт сам урегулировал ситуацию, пойдя на примирение, но внимательные зрители все же заметили, какое напряжение царило между актерами в некоторых эпизодах.
В 80-е годы Конкин не только играл на сцене Театра Ермоловой и снимался в кино, но и писал рассказы и очерки. Между тем его роли на экране становились все более разнообразными: Кирсанов в «Отцах и детях», Горский в «Гражданском иске». В 90-х артист появился в «Бульварном романсе» и «Принцессе на бобах», а также занялся режиссурой в «Вернисаже», а в 2000-х снялся в «Оперативном псевдониме» и фильме «В круге первом». .
После «Завещания Ленина» актер перестал сниматься: сказалось как ухудшение здоровья, так и нелюбовь к современному кинематографу. «Я жив только благодаря усилиям врачей. Несколько лет назад у меня была многочасовая операция. Вас разрезают пополам, вынимают сердце, кладут, грубо говоря, на стиральную доску и начинают потрошить, чинить, вставлять два платиновых клапана. А вы в это время подключаетесь к аппаратам… Потом отремонтированное сердце вставляется обратно, зашивается платиновой нитью. Уникальная технология», — поделился артист.
